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概率知识点总结,高中数学概率知识点

来源:101教育网整理 2017-09-08 字体大小: 分享到:

  总结如下:

  一、考点(必考)概要:

  1、事件与概率:

  (1)随机事件:

  ①随机试验:在概率论中,具有下列三个特点的试验称为随机试验。

  ⅰ可以在相同的条件下重复地进行;

  ⅱ每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;

  ⅲ进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现;

  ②在随机试验中,可能发生也可能不发生的事情就叫随机事件;随机事件常用大写字母A、B、C表示,它是样本空间S的子集合。在每次试验中,当且仅当子集A中的一个样本点出现时,称事件A发生。

  ③必然事件和不可能事件:对于一个试验E,在每次试验中必然发生的事件,称为E的必然事件;在每次试验中都不发生的事件,称为E的不可能事件;对于一个试验E,它的样本空间S是E的必然事件;空集

  是不可能事件。

  ④频率:设E为任一随机试验,A为其中任一事件,在相同条件下,把E独立的重复做n次,

  表示事件A在这次试验中出现的次数(称为频数)。比值

  称为事件A在这n次试验中出现的频率;

  人们在实践中发现:在相同条件下重复进行同一试验,当试验次数n很大时,某事件发生的频率具有一定的“稳定性”,就是说其值在某确定的数值上下摆动。一般说,试验次数n越大,事件A发生的频率就越接近那个确定的数值。因此事件A发生的可能性的大小就可以用这个数量指标来描述。

  ⑤概率:设有随机试验E,若当试验的次数n充分大时,事件A的发生频率

  稳定在某数p附近摆动,则称数p为事件的概率,记为:P(A)=p。

  ⑥频率与概率的关系:概率是建立在频率这个统计量的稳定性基础之上的,相同条件下,一个事件发生的概率是一个常数,是由事件固有的属性决定的,但是如果用概率实验的方法,频率会随着样本空间的变化而变化,但随着样本的增加,频率会越来越集中于一个常数,这个数就是概率(统计概率的定义)。所以用频率估计出来的概率有时是不精确的,会有误差的。只要n相当大,频率

  与概率P(A)是会非常靠近的,频率是概率的一个近似值;

  (2)互斥事件的概率:

  ①互斥事件:若事件A与事件B不能同时发生,即

  ,则称事件A与事件B是互斥的,或称它们是互不相容的。若事件

  中的任意两个都互斥,则称这些事件是两两互斥的。

  ②概率的基本性质:

  ⅰ任何事件的概率P(A):0≤P(A)≤1;

  ⅱ必然事件的概率:P(E)=1;

  ⅲ不可能事件的概率:P(F)=0;

  ⅳ当事件A与B互斥时,∵

  ,∴P(A∪B)=P(A)+P(B);

  ⅴ任意事件A、B的概率:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB);

  ⅵ若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,

  ∵P(A∪B)=P(A)+P(B),∴P(A)=1-P(B);

  ③概率事件与集合的关系:

  2、古典概型

  (1)古典概型:如果做某个随机试验E时,只有有限个事件

  可能发生,且事件

  满足下面三条:

  ①

  发生的可能性相等(等可能性);

  ②在任意一次试验中

  至少有一个发生(完备性);

  ③在任意一次试验中

  至多有一个发生(互不相容性)。

  具有上述特性的概型称为古典概型或等可能概型。

  称为基本事件。

  (2)古典概型(等可能概型)中事件概率的计算公式:

  ①设在古典概型中,试验E共有n个基本事件,事件A包含了m个基本事件,则事件A的概率为:

  ;

  ②互斥事件分别发生的概率公式:P(A∪B)=P(A)+P(B),或P(A+B)=P(A)+P(B);

  ③相互独立事件同时发生的概率公式:P(AB)=P(A)×P(B);

  ④独立重复试验概率公式:

  ;

  ⑤如果事A与B互斥,那么事件A与

  、

  与

  及事件

  与

  也都是互斥事件;

  ⑥如果事件A与B相互独立,那么事件A、B至少有一个不发生的概率是:

  1-P(AB)=1-P(A)×P(B);

  ⑦如果事件A与B相互独立,那么事件A、B至少有一个发生的概率是:

  3、随机数与几何概型

  (1)随机数:

  ①定义:

  ⅰ是指一个数列,其中的每一个体称为随机数,其值与数列中的其它数无关;

  ⅱ在一个均匀分布的随机数中,每一个体出现的概率是均等的;

  ⅲ单个的数字不是随机数;

  ②基本特性:

  ⅰ随机数数列应是独立的、互不相关的,即数列中的任一子数列应与其它的子数列无关;

  ⅱ长的周期:实际应用中,随机数都是用数学方法计算出来的,这些算法具有周期性,即当数列达到一定长度后会重复;

  ⅲ均匀分布的随机数应满足均匀性:随机数数列应是均匀的、无偏的,即如果两个子区间的“面积”相等,则落于这两个子区间内的随机数的个数应相等。如果均匀性不满足,则会出现数列中的多组随机数相关的情况均匀性与互不相关的特性是有联系的。

  ⅳ有效性:

  ③模拟方法估计概率:

  虽然人们可以通过大量重复试验,用随机事件发生的频率来估计其概率,但人工进行试验费时、费力,并且有时很难实现,因此用模拟方法来估计某些随机事件发生的概率是必要的。

  ⅰ应用一:可以求出某些不规则图形的近似面积;

  ⅱ应用二:可以利用规则图形,来估计一些实际问题的概率;

  (2)几何概型:

  ①几何概率模型(几何概型):如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;

  ②几何概型的概率公式:

  ;

  ③几何概型的特点:

  ⅰ试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;

  ⅱ每个基本事件出现的可能性相等。

  4、古典概型与几何概型的区别:

  (1)相同:两者基本事件的发生都是等可能的;

  (2)不同:古典概型要求基本事件有有限个,几何概型要求基本事件有无限多个.

  二、复习点睛:

  1、知识结构:

  2、“概型”是指某种概率模型。“古典概型”是一种最简单、最直观的概率模型。

  3、当一次试验涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多的时候,为不重不漏的列出所有的可能结果,通常采用列表法或树形图法。

  4、均匀随机数在日常生活中,有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是:建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量(如概率值、常数等)有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量。用随机数模拟的关键是把实际问题中事件及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。

  5、对随机模型进行模拟,需要产生服从某种分布的一系列随机数,亦即服从某种分布的一系列样本值。最常用的是在(0,1)区间内均匀分布的随机数(显然,得到的随机数可看作是(0,1)区间内均匀分布的随机变量的一组样本值),其他分布的随机数可利用均匀分布随机数来产生。

  6、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例。即随机事件A的概率P(A)与表示它的区域g的测度(长度、面积或体积)成正比,而与区域g的位置和形状无关;只要表示两个事件的区域有相同的测度(长度、面积或体积),不管它们的位置和形状如何,这两个事件的概率一定相等.

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标签: 高二 数学 (责任编辑:Lily)
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