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利用参考圆研究简谐运动的规律

来源:101教育网整理 2017-12-25 字体大小: 分享到:

  1.参考圆的物理意义.

  实验证明,如图2所示的一个作匀速圆周运动的质点m,它在x轴或y轴上的投影是作简谐运动的.这个实验事实告诉我们匀速圆周运动与简谐运动在运动学上有着深刻的内在联系.因此,它提供了利用匀速圆周运动的知识来研究简谐运动的依据.即一个简谐运动必然存在一个与之相对应的匀速圆周运动,这个匀速圆周运动的圆周叫做与之相对应的简谐运动的参考圆.

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  参考圆的各量与简谐运动的有关量有如下一些对应关系,如图3所示.

  (1)参考圆的圆心为简谐运动的平衡位置.

  (2)参考圆的半径为简谐运动的振幅(A)

  (3)参考点m作匀速圆周运动的周期或频率和其投影点M作简谐运动的周期或频率是相同的.

  (4)参考点作匀速圆周运动的角速度(ω)与简谐运动的周期(T)或频率( f)有如下关系:

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  掌握了上述各量之间的对应关系,如果已知简谐运动的平衡位置、振幅、周期(或频率)、初相等量,就可以找到与之相对应的参考圆及确定在此参考圆上作匀速圆周运动的参考点的运动状态,反之亦然.

  2.简谐运动的运动规律

  利用参考圆可以很方便地找到简谐运动的位移方程,速度方程和加速度方程.

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  如图4所示已知参考圆上的参考点m的匀速圆周运动的线速度为v0,半径为A,角速度为ω,向心加速度为am,由匀速圆运动知识可知:v0=Aω,am=Aω2.从图可知M点是参考点m在x轴上的投影,实验已证明参考点m作匀速圆周运动,则其投影点M作简谐运动.因此投影点作简谐运动的位移x、速度v和加速度a分别是圆周半径A,参考点的速度v0和参考点的加速度am在x轴上的分量.设t=0时参考点通过B点(θ=0),这时投影点M的位移x = A、v = 0(因vx= 0)a = am,则t时刻投影点M的位移、速度和加速度用下列公式表示:

x = A·cosωt       v = -Aωsinωt       a = -Aω2cosωt

  以上三个方程就是初相为零时,简谐运动的位移方程、速度方程和加速度方程.它们反映了简谐运动的位移、速度和加速度随时间变化的规律.其中位移方程我们常常把它作为判断简谐运动的运动学依据.顺便说明v、a方程中负号是怎样出现的?如在Ⅰ、Ⅱ象限中v(即vx)总是指向x的负方向的,而在Ⅰ、Ⅱ两象限中sinωt又总是正值,为了使得数学上的正、负符号和表示v方向和正、负符号在公式中统一起来,所以在公式中加一个负号,a方程中出现的负号也是如此.

  3.简谐运动的周期公式

  简谐运动是一种周期性运动,每完成一次全振动所用的时间(周期T)由什么条件来决定是一个带有特色的重要问题.

  我们可利用简谐运动的动力学规律和运动学规律来推寻它的周期公式.

  由简谐运动的x方程和a方程可得:

  a=-ω2x      ④

  又由牛顿第二定律和简谐x公式可得:

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  由周期(T)或频率(f)公式可知,它们与振幅无关,而取决于振动系统的两个方面性质:一是系统所受的作用力为线性回复力(-Kx),二是系统的惯性(m),前者使运动趋向平衡位置,由于惯性,系统又不会到达平衡位置就静止,从而系统发生振动.为了强调T或f由系统性质所决定,故称T或f为固有周期或固有频率.

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标签: 简谐运动 运动规律 参考圆 (责任编辑:米露)
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