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高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》

来源:101教育网整理 2018-03-29 字体大小: 分享到:

1.3 弧度制(1课时)

    • 教学目标:

       

    1. 知识与技能

    2. (1)理解1弧度的角及弧度的定义;(2)掌握角度与弧度的换算公式;(3)熟练进行角度与弧度的换算;(4)理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系;(5)理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式,并能灵活运用这两个公式解题。

       

    3. 过程与方法

    4. 通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念;比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化;应用在特殊角的角度制与弧度制的互化,帮助学生理解掌握;以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式;通过自主学习和合作学习,树立学生正确的学习态度。

       

    5. 情感态度与价值观

    通过弧度制的学习,使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度,二者虽单位不同,但却是相互联系、辩证统一的;在弧度制下,角的加、减运算可以像十进制一样进行,而不需要进行角度制与十进制之间的互化,化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便,体现了弧度制的简捷美;通过弧度制与角度制的比较,使学生认识到引入弧度制的优越性,激发学生的学习兴趣和求知欲望,养成良好的学习品质。

    二、教学重、难点

    重点: 理解弧度制的意义,正确进行弧度与角度的换算;弧长和面积公式及应用。

    难点: 弧度的概念及与角度的关系;角的集合与实数之间的一一对应关系。

    三、学法与教学用具

    在初中,我们非常熟悉角度制表示角,但在进行角的运算时,运用六十进制出现了很不习惯的问题,与我们常用的十进制不一样,正因为这样,所以有必要引入弧度制;在学习中,通过自主学习的形式,让学生感受弧度制的优越性,在类比中理解掌握弧度制。

    教学用具:多媒体、三角板

    四、教学思路

    【创设情境,揭示课题】

    在初中几何里我们学过角的度量,当时是用度做单位来度量角的.我们把周角的高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》规定为1度的角,而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制.但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制��弧度制。下面我们就来学习弧度制的有关概念.(板书课题)弧度制的单位是rad,读作弧度.

    【探究新知】

    1.1弧度的角的定义.

    (板书)我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角,叫做1弧度的角(打开课件).如图1�14(见教材),弧AB的长等于半径r,则弧AB所对的圆心角就是1弧度的角,弧度的单位记作rad。

    在图1(课件)中,圆心角∠AOC所对的弧长l=2r,那么∠AOC的弧度数就是2rad;圆心角∠AOD所对的弧长l=高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》r,那么∠AOC的弧度数就是高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》rad;圆心角∠AOE所对的弧长为l,那么∠AOE的弧度数是多少呢?学生思考并交流,此我们可以得到弧度制的定义.

    2.弧度制的定义:

    一般地,(板书)正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数

    是o;角α的弧度数的绝对值|α|=高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》,其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长,r是圆

    的半径,这种以弧度作为单位来度量角的单位制,叫做弧度制.

    在弧度制的定义中,我们是用弧长与其半径的比值来反映弧所对的圆心角的大小的.为什么可以用这个比值来度量角的大小呢?这个比值与所取的圆的半径大小有没有关系?请同学们自主学习课本P12�P13,从课本中我们可以看出,这个比值与所取的半径大小无关,只与角的大小有关。有兴趣的同学们可以对它进行理论上的证明:

    (论证)如图1�13(见教材),设∠α为n°(n°>0)的角,圆弧AB和AlBl的长分别为l和l1,点A和Al到点O的距离(即圆的半径)分别为r(r>0)和rl(rl>0),由初中所学的弧长公式有l=高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》r,l1高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》r1,所以高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》,这表明以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值,与所取的半径大小无关,只与角α的大小有关.

    用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但量数相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,量数也不同.但它们既然是表示同一个角,那这二者之间就应该可以进行换算,下面我们来讨论角度与弧度的换算.

    3.角度制与弧度制的换算.

    现在我们知道:1个周角=360°=高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》r,所以,(板书)360°=2πrad,由此可以得到180°=πrad,1°=高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》≈0.01745rad,1rad=(高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》)°≈57.30°=57°18"。

    说明:在进行角度与弧度的换算时,关键要抓住180°=πrad这一关系式.

    今后我们用弧度制表示角时,“弧度”二字或“rad”通常略去不写,而只写这个角所对应的弧度数.例如,角α=2就表示是2rad的角,sin高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》就表示高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》rad的角的正弦,但用角度制表示角时,“度”或“°”不能省去.而且用“弧度”为单位度量角时,常把弧度数写成多少π的形式,如无特别要求,不必把π写成小数,如45°=高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》rad ,不必写成45°=0.785弧度.

    前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法,而角度制与弧度制可以相互转化,所以与角α终边相同的角(连同角α在内),也可以用弧度制来表示.但书写时要注意前后两项所采用的单位制必须一致.

    角的概念推广后,无论用角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数与它对应,例如这个角的弧度数或度数;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角与它对应,就是弧度数或度数等于这个实数的角。

    【巩固深化,发展思维】

    1.例题讲评

    例1.把45°化成弧度。

    解:45°=高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》×45rad=高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》rad.

    例2.把高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》rad化成度。

    解:高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》rad=高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》×180°=108°.

    例3.利用弧度制证明扇形面积公式S=高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》lr,其中l是扇形的弧长,r是圆的半径。

    证:∵圆心角为1的扇形的面积为高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》·πr2,又∵弧长为l的扇形的圆心角的大小为高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》,∴扇形的面积S=高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》·高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》·πr2高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》lr.

    2.学生课堂练习

    (1)填表

     

    45°

    60°

     

    180°

     

    360°

    弧度

     

    高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》

     

     

    高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》

     

    高一数学《1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)》

     

    说明:一些特殊角的弧度数,大家要熟记,免得每次遇到都要去进行换算.

    (2)用弧度制写出终边落在y轴上和x轴上的角集合。

    五、归纳整理,整体认识

    (1)主要学习了弧度制的定义;角度与弧度的换算公式;特殊角的弧度数。

    (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。

    (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?

    六、布置作业:习题1�3中的1、2、6.

    七、课后反思

     

     

     

     

     

     

     

     

    年级

    高一

    学科

    数学

    版本

    北师大版

    期数

     

    内容标题

    1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)

    分类索引号

      G.624.6

    分类索引描述

      教学法

    主题词

    1.3 弧度制(1课时)(北师大版必修四)

    栏目名称

     教案精选

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    标签: 高一 数学 弧度制 (责任编辑: )
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