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高一数学《映射及函数的表示方法》

来源:101教育网整理 2018-03-28 字体大小: 分享到:

 

   

高一

   

数学

   

通用版

内容标题

映射及函数的表示方法

编稿老师

房新宝

 

本讲主要内容

. 本周教学内容:

映射及函数的表示方法

映射的概念、函数的概念、函数的表示方法

 

【知识掌握】

知识点精析

1.

函数的定义:设AB是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称fAB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x)xA,其中x叫自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫函数值,函数值的集合叫函数的值域。

2.

两个函数的相等:当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一函数,例如:

3.

映射的定义:一般地,AB是两个集合,如果按照某个对应法则f对于集合A中的任一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合AB,及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记做fAB

4.

函数的实质:函数是特殊的映射,即要求AB都是非空数集。

5.

函数的表示方法:解析式(分段函数法、图像法、列表法)

 

 

解题方法指导

 

1. 1)设

下列对应法则能构成

AB的映射的是(    

A.

B.

C.

D.

点拨:

根据映射定义,检验集合A中每一元素依照对应法则在B中是否都有唯一元素与之对应。

解析:

C

在集合

A中,

在集合

B中,

在集合

D中,

2)下图中可表示函数图象的只可能是(    

点拨:

判断一个图像是否为函数的图像的方法:过x轴上任一点作垂直于x轴的直线与图像相交,如果只有唯一的交点,则是函数图象,否则不是。

解析:

根据函数定义,对任意一个x,都要有唯一的y与之对应,故选D

 

 

2. ①已知:,求

点拨:

考察对应法则f对“”是如何运算的。

法一:

法二:

换元法,设

②若,求一次函数的解析式。

点拨:

是一次函数,,列方程求ab

解析:

待定系数法,设,则

解得

③已知:,求

点拨:

由解析式再构造一个方程,解方程组。注意x联系。

解析:

① 以x

消去

举一反三:已知:,求

 

 

3. ①求函数的定义域

点拨:

分母不为零,被开方数非负。

解析:

由题意得:

∴函数的定义域是

②已知的定义域是[

-23

求函数的定义域

点拨:

定义域是(  )中x的取值范围

定义域是

x+1x的取值范围,x+1在(  )中

定义域是

2x-1x的取值范围,2x+1在(  )中。

解析:

定义域为

 

【考点突破】

【考点指要】

近年高考中考察函数定义域求法,分段函数图象应用等,多以选择题和填空题出现,解答题也有综合题型,分数515分左右,考察的方法多用数形结合,分类讨论、函数与方程的思想方法。

 

典型例题分析

 

1. 2005年山东)函数

,则

a的所有可能取值是(    

A. 1 B. 1

C. D. 1

点拨:

考察分段函数函数值,可列方程求解,或从选项代入。

解析:

a=1时,成立

时,

时,

∴选

B

 

2. ,则_________

点拨:

待定系数法。

解析:

另解:由

 

 

3. 2006年重庆)已知定义域为R函数f(x)满足

①若

f(1),又若f(0)=a,求f(a)

②若有且仅有一个实数

x0,使得,求f(x)解析式。

点拨:

注意成立的任意性及的唯一性。

解析:

①由

x=2,则

x=0,则

②由

时,

但此时有两个解与题意不符,故舍去。

时,

此时,即

 

【达标测试】

1.

已知函数    

A. 4 B.

C. 16 D.

2.

函数图象与直线x=2的公共点共有(    

A. 0

B. 1C. 0个或1D. 0个或1个或2

3.

由关于x的恒等式

。定义映射,则等于(

   

A.

1234B. 0340

C.

-102-2D. 0-34-1

4.

已知集合给出下列四个对应法则:①其中能构成从MN的函数的是(    

A.

B. C. D.

5.

已知:,则    

A. 1 B. 3 C. 15 D. 30

6.

设集合,下面图中可以表示从集合A到集合B的映射的是(    

7.

已知:函数,则__________

8.

已知:函数,则x=__________

9.

已知:函数的定义域为[01],则的定义域是__________

10.

已知函数,若成立,求x的范围。

11.

已知:函数

求不等式的解集。

12.

f(x)是定义在()上的函数,对一切xR均有,当时,,求当时,函数的解析式。

13.

如图,一动点P自边长为1的正方形ABCD的顶点A出发,沿正方形的边界运动一周,再返回到A点,若点P的路程为x,点P到顶点A的距离为y。求yx之间的函数关系式。

 

【综合测试】

1.

设集合AB都是自然数集合N,映射fAB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素,则在映射f下,象20的原象是(    

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

2.

某种型号的手机自投放市场以来,经过两次降价,单价由原来的2000元降到1280元,则这种手机平均每次降价的百分率是(    

A. 10% B. 15% C. 18% D. 20%

3.

2004年全国III,理11)设函数,则使得的自变量x的取值范围为(    

A.

B.

C.

D.

4.

2004年浙江,文13)已知,则不等式的解集是

 

5.

2004年全国IV,文)已知函数的图象有公共点A,且A点的横坐标为2,则k的值等于(    

A.

B. C. D.

6.

2006年重庆)

如图所示,单位圆中弧

AB的长为x表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍,则函数的图象是(    

7.

2006年江西)

 

已知集合,则    

A.

B. C. D.

8.

,则___________

9.

__________

10.

是从集合A={123k}到集合B={47}的一个映射,求自然数ak的值及集合AB

11.

如果函数对任意xR都有,试求的值。

 

探究创新

12.

集合M={abc}N={-101},映射满足,那么映射的个数是多少?

 

培养能力

13.

如下图,在边长为4的正方形ABCD上有一点P,沿着折线BCDAB点(起点)向A点(终点)移动,设P点移动的路程为x,△ABP的面积为

1)求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式;

2)作出函数的图象,并根据图象求y的最大值。

 

【达标测试答案】

1. A 2. C 3. D 4. D 5. C 6. D

7.

8. ?3 9. 03

10.

解:由题知:

11.

解:由题意得

12.

分析:转化成,再利用已知条件是关键。

解:

,则

对任意

x,有

代替

x得:

13.

解:PBC上时,PB=x-1;当PDC上时,DP=3-x

 

【综合测试答案】

1. C

解析:

n,用代入法可知选C

2. D

解析:

设降价百分率为x%

,解得

x=20

3. A

解析:

f(x)是分段函数,故应分段求解

x<1时,

时,

综上所述,

4.

解析:

时,

x<0时,

,综上

5. A

解析:

由点A的图象上可求出A点纵坐标

A2)在图象上,

6. D

7. C

8.

9.

10.

解:

,由映射的定义知

1或(2

aN,∴方程组(1)无解

解方程组(

2),得(舍),

11.

解:∵对任意xR,总有

∴当

x=0时应有

故有

 

探究创新

12.

解:,且

时,只有一个映射。

中恰有一个为

0,而另两个分别为1-1时,有个映射。

因此所求的映射的个数为

1+6=7

 

培养能力

13.

解:1)这个函数的定义域为(012

时,

时,

时,

∴这个函数的解析式为

2)其图形为

由图知,

                                                           

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