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有理数

来源:101教育网整理 2018-08-07 字体大小: 分享到:


有理数知识点总结

  有理数的定义

  包含有理数分类的原则和方法,相反数、数轴、绝对值的概念和特点。

  1.有理数的分类:有理数包括整数和分数,整数又包括正整数,0和负整数,分数包括正分数和负分数 。“分类”的原则:(1)相称(不重、不漏);(2)有标准

  2.非负数:正数与零的统称。

  3.相反数: (1)定义:如果两个数的和为0.那么这两个数互为相反数.

  (2)求相反数的公式: a的相反数为-a.

  (3)性质:①a≠0时,a≠-a;②a与-a在数轴上的位置关于原点对称;③两个相反数的和为0,商为-1。

  4.数轴:

  (1)定义(“三要素”):具有原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。

  作用:①直观地比较实数的大小;②明确体现绝对值意义;③所有的有理数可以在数轴上表示出来,所有的无理数如 都可以在数轴上表示出来,故数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,数轴上的点与实数是一一对应关系。

  5.绝对值:(1)代数定义:正数的绝对值是它的本身,0的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数。

  (2)几何定义:数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

  ①符号"││”是“非负数”的标志;

  ②数a的绝对值只有一个;

  ③处理任何类型的题目,只要其中有"││”出现,其关键一步是去掉"││”符号。

  有理数的乘方

  1.乘方的意义

  求n个相同因数的积的运算,叫乘方,其中,n为自然数,乘方的结果叫幂.

  一般地,a·a·...·a(n个a)记作an,其中a叫底数,n叫指数,读作a的n次方或a的n次罪。指数为1时,可省略不写,底数是分数或负数的应添括号.

  应用乘方的定义时,要注意分清底数、指数,如(-3)2与-32中,前者底数是-3,后者底数为3;前者指数对负数起作用,后者指数“管不住”负号,这两个幂不相等,是互为相反数.

  注意(1)任何数的偶次幂都是非负数.

  (2)-1的偶次幂得1,-1的奇次幂为-1.

  (3)1的任何欢幂都得1,0的任何次幂都为0.

  2.科学记数法

  一般地,一个大于10的数可以表示成a×10n的形式,其中1≤a<10,n是正整数,这种记数方法叫科学记数法.

  用科学记数法表示一个大于10的数时,10的指数(即n的值)比原数的整数位数少1.如原数有6位整数,n=5.

  被表示的数若是负数时,用科学记数法表示一个数,不能改变被表示数的大小,并按记数的要求书写,不要遗漏了负号.

  3.有效数字

  经四舍五人的近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确的数位止,所有的数字,都叫这个近似数的有效数字.

  4.精确度

  精确度是近似数的精确程度,一般表现为两种形式:

  (1)精确到某一位

  一个近似数四舍五入到哪一位,就称这个数精确到哪一位,如近似数0.576精确到千分位,或称精确到0.001.

  (2)保留若干个有效数字

  一个近似数有几个有效数字,就称这个近似数保留几个有效数字,如近似数0.324是保留三位有效数字.

  注意:给定一个近似数,要确定其精确度,主要是由该近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置所决定的.

  5.有理数的混合运算

  规则是:先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,按照从左到右的顺序进行,有括号的先算括号内,计算过程中,灵活运用运算律.

  有理数运算法则

  加法法则

  1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;

  2.绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的两个数相加得0;

  3.一个数同0相加,仍得这个数.

  减法法则

  减去一个数,等于加上这个数的相反数.

  运用此法则时注意“两变”:一是减法变为加法;二是减数变为其相反数

  总结

  ①.有理数的加减法可统一成加法.

  ②.因为有理数加减法可统一成加法,所以在加减运算时,适当运用加法运算律,把正数与负数分别相加,可使运算简便.但要注意交换加数的位置时,要连同前面的符号一起交换.

  乘法的法则:

  两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;

  任何数同0相乘,都得0.

  几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.

  除法的法则:

  0没有倒数,乘积为1的两个数互为倒数.

  两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.

  0除以任何一个不为0的数,都得0.(分母≠0).利用除法法则可以化简分数.

  在有理数混合运算中:

  1.先乘方,再乘除,最后加减;

  2.同级运算从左到右按顺序运算;

  3.若有括号,先小再中最后大,依次计算.

  常见考法

  绝对值、相反数、数轴的概念难度不大,但极易混淆。在段考和中考中都是重点,题型多以填空、选择为主。有时也和定义新运算这类题目联系起来考查。

有理数例题

题目

  【例】(2009山西省太原市)在数轴上表示-2的点离开原点的距离等于( )

  A.2 B.-2 C. 0 D.4

答案

  【解析】本题考查数轴的有关知识,也是考查绝对值的几何意义,数轴上表示-2的点离开原点的距离等于2,故选A。混淆了绝对值、相反数、数轴三者的概念,是学生的常见错误。

  有理数的运算是数学运算的基础,通过对中学数学各类考试中试题的分析可以看出对有理数运算侧重于:

  1.考查易混淆,易出错的相关运算及符号的确定,如有理数的减法、乘方的运算。

  2.考查各种运算意义、法则的理解及灵活运用。

  3.结合实际生活中的问题情境,考查实数运算的应用。题型一般是计算题。

  【例】(2010黑龙江哈尔滨)某年哈尔滨市一月份的平均气温为-18℃,三月份的平均气温为2℃,则三月份的平均气温比一月份的平均气温高( )

  (A)16℃ (B)20℃ (C)-16℃ (D).-20℃

  【解析】故选B.


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