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二次函数

来源:101教育网整理 2018-08-07 字体大小: 分享到:


· 二次函数坐标公式

  一、二次函数的最值:

  1.如果自变量的取值是全体实数,那么二次函数在图象顶点处取到最大值(或最小值)。

  这时有两种方法求最值:一种是利用顶点坐标公式,一种是利用配方计算。

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  二、二次函数与一元二次方程、二次三项式的关系

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  三、二次函数的实际应用

  在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型;生产和生活中,有很多“利润最大”、“用料最少”、“开支最节约”、“线路最短”、“面积最大”等问题,它们都有可能用到二次函数关系,用到二次函数的最值。

  那么解决这类问题的一般步骤是:

  第一步:设自变量;

  第二步:建立函数解析式;

  第三步:确定自变量取值范围;

  第四步:根据顶点坐标公式或配方法求出最值(在自变量的取值范围内)。

  常见考法

  (1)考查一些带约束条件的二次函数最值;

  (2)结合二次函数考查一些创新问题。

  二次函数顶点式、交点市、两根式

  一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:

  (1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

  (2)顶点式:y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数,a≠0).

  (3)交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2)

  (4)两根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,a≠0.

  说明:

  (1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标是(h,k),h=0时,抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时,抛物线y=ax2的顶点在原点.

  (2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时,即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时,根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2).

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  误区提醒

  (1)忽略自变量的取值范围,所求最值不符合实际意义;

  (2)二次函数的坐标系建立的不恰当,给解题带来了困难。


· 初中数学几何图形典型例题

题目

  【典型例题】(2010 四川南充)如图,在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球,网球飞行路线是一条抛物线,在地面上落点为B.有人在直线AB上点C(靠点B一侧)竖直向上摆放无盖的圆柱形桶,试图让网球落入桶内.已知AB=4米,AC=3米,网球飞行最大高度OM=5米,圆柱形桶的直径为0.5米,高为0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计).

  (1)如果竖直摆放5个圆柱形桶时,网球能不能落入桶内?

  (2)当竖直摆放圆柱形桶多少个时,网球可以落入桶内?

答案

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