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四边形

来源:101教育网整理 2018-08-07 字体大小: 分享到:


· 初中数学四边形知识点

  一、平行四边形的定义、性质及判定

  1.两组对边平行的四边形是平行四边形.

  2.性质:(1)平行四边形的对边相等且平行;(2)平行四边形的对角相等,邻角互补;(3)平行四边形的对角线互相平分.

  3.判定:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形:(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.

  4.对称性:平行四边形是中心对称图形.

  二、矩形的定义、性质及判定

  1.定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

  2.性质:矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等.

  3.判定:(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;(2)有三个角是直角的四边形是矩形;(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形.

  4.对称性:矩形是轴对称图形也是中心对称图形.

  三、菱形的定义、性质及判定

  1.定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

  2.性质:(1)菱形的四条边都相等;(2)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;(3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形;(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半:

  3.判定:(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形;(2)四条边都相等的四边形是菱形;(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

  4.对称性:菱形是轴对称图形也是中心对称图形.

  要判定四边形是菱形的方法是:

  法一:先证出四边形是平行四边形,再证出有一组邻边相等。(这就是定义证明)。

  法二:先证出四边形是平行四边形,再证出对角线互相垂直。(这是判定定理2)

  法三:只需证出四边都相等。(这是判定定理1)

  四、正方形定义、性质及判定

  1.定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

  2.性质:(1)正方形四个角都是直角,四条边都相等;(2)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;(3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;(4)正方形的对角线与边的夹角是45°;(5)正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

  3.判定:(1)先判定一个四边形是矩形,再判定出有一组邻边相等;(2)先判定一个四边形是菱形,再判定出有一个角是直角.

  4.对称性:正方形是轴对称图形也是中心对称图形.

  要判定四边形是正方形的方法有

  方法一:第一步证出有一组邻边相等;第二步证出有一个角是直角;第三步证出是平行四边形。(这是用定义证明)

  方法二:第一步证出对角线互相垂直;第二步证出是矩形。(这是判定定理1)

  方法三:第一步证出对角线相等;第二步证出是菱形。(这是判定定理2)

  五、梯形的性质及判定

  1.定义:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形是梯形.两腰相等的梯形是等腰梯形;一腰垂直于底的梯形是直角梯形.

  2.等腰梯形的性质:等腰梯形的两腰相等;同一底上的两个角相等;两条对角线相等;等腰梯形是轴对称图形.

  3.等腰梯形的判定:两腰相等的梯形是等腰梯形;同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;两条对角线相等的梯形是等腰梯形.

  六、中位线

  三角形的中位线平行于三角形的第三边并等于第三边的一半;梯形的中位线平行于梯形的两底并等于两底和的一半.

  1.三角形的中位线:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

  说明:三角形的中位线与三角形的中线不同。

  2.梯形的中位线:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。

  3.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。

  4.梯形中位线定理:梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。

  七、重心

  线段的重心是线段的中点;平行四边形的重心是两对角线的交点;三角形的重心是三条中线的交点.

  八、中点四边形

  依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.

  九、多边形的面积

  多边形的面积常用的求法有:

  (1)将任意一个平面图形划分为若干部分再通过求部分的面积的和,求出原来图形的面积这种方法叫做分割法。

  (2)将一个平面图形的某一部分割下来移放在另一个适当的位置上,从而改变原来图形的形状。利用计算变形后的图形的面积来求原图形的面积的这种方法。叫做割补法。

  (3)将一个平面图形通过拼补某一图形,使它变为另一个图形,利用新的图形减去所补充图形的面积,来求出原来图形面积的这种方法叫做拼凑法。

  常见考法

  四边形与三角形复习要求是能运用这些图形进行镶嵌,能根据图形的条件把四边形面积等分.能够对特殊四边形的判定方法与联系深刻理解.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和常用判别方法,特别是梯形添加辅助线的常用方法.掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用.

  会画出四边形全等变换后的图形,会结合相关的知识解题.结合几何中的其他知识解答一些有探索性、开放性的问题,提高解决问题的能力.同时,四边形的概念建立在三角形的基础上,是知识的拓展与深化.研究它的性质,常常是将四边形转化成若干三角形,通过三角形的性质来研究,或者是运用作辅助线的方法将四边形转化成三角形和平行四边形来讨论.

  至于矩形、菱形、正方形的性质是在平行四边形的基础上扩充的.它们的判定方法也是在平行四边形的基础上增加一些特定的条件.梯形也是一种特殊的四边形,它是平行四边形和三角形知识的综合.

  通过适当的添设辅助线,把梯形转化为三角形、平行四边形的组合图形,再运用三角形、平行四边形的知识解决梯形的有关问题.

  误区提醒

初中数学四边形知识点.png

  由于本考点内容较多,所以在解答题目时往往容易出现答案混乱的现象,导致出现概念不清,方法不当的现象;如把矩形的定义记成菱形的定义导致结果出错等.所以在利用定义解决问题时,要逐个验证条件,不能马虎;另一方面要求我们养成好的解题习惯,从某种角度来说,这一点显得更加重要.



· 初中数学四边形典型例题

题目

四边形1.jpg

答案

四边形2.jpg

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