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轴对称

来源:101教育网整理 2018-08-07 字体大小: 分享到:


· 轴对称知识点

  一、轴对称与轴对称图形:

  1.轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,两个图形中的对应点叫做对称点,对应线段叫做对称线段。

  2.轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴。

  注意:对称轴是直线而不是线段

  3.轴对称的性质:

  (1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;

  (2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;

  (3)两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上;

  (4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。

  4.线段垂直平分线:

  (1)定义:垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。

  (2)性质:①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;

  ②到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

  注意:根据线段垂直平分线的这一特性可以推出:三角形三边的垂直平分线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。

  5.角的平分线:

  (1)定义:把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.

  (2)性质:①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

  ②到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.

  注意:根据角平分线的性质,三角形的三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.

  6.等腰三角形的性质与判定:

  性质:

  (1)对称性:等腰三角形是轴对称图形,等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴,或底边上的高所在的直线是它的对称轴,或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴;

  (2)三线合一:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;

  (3)等边对等角:等腰三角形的两个底角相等。

  说明:等腰三角形的性质除“三线合一”外,三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质,如:①等腰三角形两底角的平分线相等;②等腰三角形两腰上的中线相等;

  ③等腰三角形两腰上的高相等;④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。

  判定定理:如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边)。

  7.等边三角形的性质与判定:

  性质:(1)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°;

  (2)等边三角形具有等腰三角形的所有性质,并且在每条边上都有“三线合一”。因此等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,而等腰三角形(非等边三角形)只有一条对称轴。

  判定定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

  说明:等边三角形是一种特殊的三角形,容易知道等边三角形的三条高(或三条中线、三条角平分线)都相等。

  二、中心对称与中心对称图形:

  1.中心对称:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够和另外一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

  2.中心对称图形:在平面内,一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心。

  3.中心对称的性质:(1)关于中心对称的两个图形是全等形;

  (2)在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分;

  (3)成中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等。

  三、轴对称与中心对称的区别与联系:

QQ截图20180905152803.jpg

  四、几种常见的轴对称图形和中心对称图形:

  轴对称图形:线段、角、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆

  对称轴的条数:角有一条对称轴,即该角的角平分线;等腰三角形有一条对称轴,是底边的垂直平分线;等边三角形有三条对称轴,分别是三边上的垂直平分线;菱形有两条对称轴,分别是两条对角线所在的直线,矩形有两条对称轴分别是两组对边中点的直线;

  中心对称图形:线段 、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆

  对称中心:线段的对称中心是线段的中点;平行四边形、菱形、矩形、正方形的对称中心是对角线的交点,圆的对称中心是圆心。

  说明:线段、菱形、矩形、正方形以及圆它们即是轴对称图形又是中心对称图形。

  五、坐标系中的轴对称变换与中心对称变换:

  点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为(x,-y),关于y轴对称的点P2的坐标为(-x,y)。关于原点对称的点的坐标P3的坐标是(-x,-y)这个规律也可以记为:关于y轴(x轴)对称的点的纵坐标(横坐标)相同,横坐标(纵坐标)互为相反数。 关于原点成中心对称的点的,横坐标为原横坐标的相反数,纵坐标为原纵坐标的相反数,即横坐标、纵坐标同乘以-1。

  常见考法

  (1)判别某些图形是不是轴对称图形能找出对称轴,对称轴的条数、判别某些图形是中心对称图形能找到对称中心;(2)利用垂直平分线性质、角平分线性质证明一些结论;(3)利用等腰三角形三线合一性质证明线段相等、线段垂直;(4)直接证明某一个三角形是等腰三角形;(4)轴对称图形的实际应用(如镜子中的轴对称问题、解决一些折叠问题、还有求几个线段之和最短问题)。

  误区提醒

  (1)把轴对称与轴对称图形的概念、中心对称与中心对称图形的概念混淆;(2)把轴对称与全等混淆;(3)找轴对称图形的对称轴不全、不准;(4)在解有关等腰三角形问题时,没有进行分类讨论,造成漏解。


· 轴对称典型例题

题目

轴对称1.jpg

答案

轴对称2.jpg


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