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函数

来源:101教育网整理 2018-08-07 字体大小: 分享到:


· 初中函数知识点

  1.常量和变量

  在某变化过程中可以取不同数值的量,叫做变量.在某变化过程中保持同一数值的量或数,叫常量或常数.

  2.函数

  设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x在某一范围的每一个值,y都有的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.

  3.自变量的取值范围

  (1)整式:自变量取一切实数.

  (2)分式:分母不为零.

  (3)偶次方根:被开方数为非负数.

  (4)零指数与负整数指数幂:底数不为零.

  4.函数值

  对于自变量在取值范围内的一个确定的值,如当x=a时,函数有确定的对应值,这个对应值,叫做x=a时的函数值.

  5.函数的表示法

  (1)解析法;(2)列表法;(3)图象法.

  6.函数的图象

  把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,可以在平面直角坐标系内描出一个点,所有这些点的集合,叫做这个函数的图象.

  由函数解析式画函数图象的步骤:

  (1)写出函数解析式及自变量的取值范围;

  (2)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值;

  (3)描点:以表中对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点;

  (4)连线:用平滑曲线,按照自变量由小到大的顺序,把所描各点连接起来.

  7.一次函数

  一次函数中的自变量取值范围是全体实数,其图象是一条直线,所以此函数既没有最大值,也没有最小值,但由于在实际问题中,所列函数表达式中自变量往往有一定的限制,故就有了最大或最小值,在求函数最值时,就先求出函数表达式,并确定出增减性,再根据题目条件确定出自变量的取值范围,然后结合增减性确定出最大值或最小值。

  (1)一次函数

  如果y=kx+b(k、b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.

  特别地,当b=0时,一次函数y=kx+b成为y=kx(k是常数,k≠0),这时,y叫做x的正比例函数.

  (2)一次函数的图象

  一次函数y=kx+b的图象是一条经过(0,b)点和 点的直线.

  特别地,正比例函数图象是一条经过原点的直线.

  需要说明的是,在平面直角坐标系中,“直线”并不等价于“一次函数y=kx+b(k≠0)的图象”,因为还有直线y=m(此时k=0)和直线x=n(此时k不存在),它们不是一次函数图象.

  (3)一次函数的性质

  当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.

  直线y=kx+b与y轴的交点坐标为(0,b),与x轴的交点坐标为 .

  (4)用函数观点看方程(组)与不等式

  ①任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0),当y=0时,求相应的自变量的值,从图象上看,相当于已知直线y=kx+b,确定它与x轴交点的横坐标.

  ②二元一次方程组 对应两个一次函数,于是也对应两条直线,从“数”的角度看,解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等,以及这两个函数值是何值;从“形”的角度看,解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标.

  ③任何一元一次不等式都可以转化ax+b>0或ax+b<0(a、b为常数,a≠0)的形式,解一元一次不等式可以看做:当一次函数值大于0或小于0时,求自变量相应的取值范围.

  8.反比例函数

  (1)反比例函数

  如果 (k是常数,k≠0),那么y叫做x的反比例函数.

  (2)反比例函数的图象

  反比例函数的图象是双曲线.

  (3)反比例函数的性质

  ①当k>0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内,在各自的象限内,y随x的增大而减小.

  ②当k<0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内,在各自的象限内,y随x的增大而增大.

  ③反比例函数图象关于直线y=±x对称,关于原点对称.

  (4)k的两种求法

  ①若点(x0,y0)在双曲线 上,则k=x0y0.

  ②k的几何意义:

  若双曲线 上任一点A(x,y),AB⊥x轴于B,则S△AOB

  (5)正比例函数和反比例函数的交点问题

  若正比例函数y=k1x(k1≠0),反比例函数 ,则

  当k1k2<0时,两函数图象无交点;

  当k1k2>0时,两函数图象有两个交点,坐标分别为 由此可知,正反比例函数的图象若有交点,两交点一定关于原点对称.

  1.二次函数

  如果y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数.

  几种特殊的二次函数:y=ax2(a≠0);y=ax2+c(ac≠0);y=ax2+bx(ab≠0);y=a(x-h)2(a≠0).

  2.二次函数的图象

  二次函数y=ax2+bx+c的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线.

  由y=ax2(a≠0)的图象,通过平移可得到y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象.

  3.二次函数的性质

  二次函数y=ax2+bx+c的性质对应在它的图象上,有如下性质:

  (1)抛物线y=ax2+bx+c的顶点是 ,对称轴是直线 ,顶点必在对称轴上;

  (2)若a>0,抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,因此,对于抛物线上的任意一点(x,y),当x< 时,y随x的增大而减小;当x> 时,y随x的增大而增大;当x= ,y有最小值 ;

  若a<0,抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,因此,对于抛物线上的任意一点(x,y),当x< ,y随x的增大而增大;当 时,y随x的增大而减小;当x= 时,y有最大值 ;

  (3)抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点为(0,c);

  (4)在二次函数y=ax2+bx+c中,令y=0可得到抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的情况:

  当D=b2-4ac>0,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的公共点,它们的坐标分别是 和 ,这两点的距离为 ;当D=0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点,即为此抛物线的顶点 ;当D<0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点.

  4.抛物线的平移

  抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)、向左(右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.


· 初中函数典型例题

题目

函数1.jpg

函数2.jpg

答案

函数3.jpg

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