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高中数学三角函数

来源:101教育网整理 2018-08-07 字体大小: 分享到:
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· 高二数学三角函数知识点


  锐角三角函数定义

  锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。

  正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c

  余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c

  正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b

  余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a

  正割(sec)等于斜边比邻边;secA=c/b

  余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a

  互余角的三角函数间的关系

  sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,

  tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.

  平方关系:

  sin^2(α)+cos^2(α)=1

  tan^2(α)+1=sec^2(α)

  cot^2(α)+1=csc^2(α)

  积的关系:

  sinα=tanα·cosα

  cosα=cotα·sinα

  tanα=sinα·secα

  cotα=cosα·cscα

  secα=tanα·cscα

  cscα=secα·cotα

  倒数关系:

  tanα·cotα=1

  sinα·cscα=1

  cosα·secα=1

  锐角三角函数公式

  两角和与差的三角函数:

  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB ?

  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB

  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

  三角和的三角函数:

  sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

  cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

  tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

  辅助角公式:

  Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中

  sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

  cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

  tant=B/A

  Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B

  倍角公式:

  sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

  cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

  tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

  三倍角公式:

  sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

  cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

  半角公式:

  sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

  cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

  tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

  降幂公式

  sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

  cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

  tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

  万能公式:

  sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

  cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

  tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

  积化和差公式:

  sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

  cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

  cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

  sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

  和差化积公式:

  sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

  sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

  cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

  cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

  推导公式:

  tanα+cotα=2/sin2α

  tanα-cotα=-2cot2α

  1+cos2α=2cos^2α

  1-cos2α=2sin^2α

  1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

  其他:

  sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

  cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

  sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

  tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

  函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

  在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为(x,y)有

  正弦函数 sinθ=y/r

  余弦函数 cosθ=x/r

  正切函数 tanθ=y/x

  余切函数 cotθ=x/y

  正割函数 secθ=r/x

  余割函数 cscθ=r/y

  正弦(sin):角α的对边比上斜边

  余弦(cos):角α的邻边比上斜边

  正切(tan):角α的对边比上邻边

  余切(cot):角α的邻边比上对边

  正割(sec):角α的斜边比上邻边

  余割(csc):角α的斜边比上对边

  三角函数万能公式

  (1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

  (2)1+(tanα)^2=(secα)^2

  (3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可

  (4)对于任意非直角三角形,总有

  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

  证:

  A+B=π-C

  tan(A+B)=tan(π-C)

  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

  整理可得

  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

  得证

  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立

  由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

  (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

  (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

  (7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

  (8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

  万能公式为:

  设tan(A/2)=t

  sinA=2t/(1+t^2) (A≠2kπ+π,k∈Z)

  tanA=2t/(1-t^2) (A≠2kπ+π,k∈Z)

  cosA=(1-t^2)/(1+t^2) (A≠2kπ+π,且A≠kπ+(π/2) k∈Z)

  就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示,当要求一串函数式最值的时候,就可以用万能公式,推导成只含有一个变量的函数,最值就很好求了.

  三角函数关系

  倒数关系

  tanα ·cotα=1

  sinα ·cscα=1

  cosα ·secα=1

  商的关系

  sinα/cosα=tanα=secα/cscα

  cosα/sinα=cotα=cscαcα

  平方关系

  sin^2(α)+cos^2(α)=1

  1+tan^2(α)=sec^2(α)

  1+cot^2(α)=csc^2(α)

  同角三角函数关系六角形记忆法

  构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

  倒数关系

  对角线上两个函数互为倒数;

  商数关系

  六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积,下面4个也存在这种关系。)。由此,可得商数关系式。

  平方关系

  在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

  两角和差公式

  sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

  sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

  cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

  cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

  tan(α+β)=(tanα+tanβ )/(1-tanα ·tanβ)

  tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα ·tanβ)

  二倍角的正弦、余弦和正切公式

  sin2α=2sinαcosα

  cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

  tan2α=2tanα/(1-tan^2(α)



· 高二数学三角函数典型例题


题目

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答案

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答案

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