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高中数学数列

来源:101教育网整理 2018-08-07 字体大小: 分享到:
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· 高中数学数列基础知识:等差数列


  等差数列定义

  一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列(arithmetic sequence),这个常数叫做等差数列的公差(common difference),公差通常用字母d表示,前n项和用Sn表示。等差数列可以缩写为A.P.(Arithmetic Progression)。

  等差数列通项公式

  an=a1+(n-1)d

  n=1时 a1=S1

  n≥2时 an=Sn-Sn-1

  an=kn+b(k,b为常数) 推导过程:an=dn+a1-d 令d=k,a1-d=b 则得到an=kn+b

  等差数列等差中项

  由三个数a,A,b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时,A叫做a与b的等差中项(arithmetic mean)。

  有关系:A=(a+b)÷2

  等差数列前n项和

  倒序相加法推导前n项和公式:

  Sn=a1+a2+a3 +·····+an

  =a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①

  Sn=an+an-1+an-2+······+a1

  =an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②

  由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an)

  ∴Sn=n(a1+an)÷2

  等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半:

  Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2

  Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)

  亦可得

  a1=2sn÷n-an

  an=2sn÷n-a1

  有趣的是S2n-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1

  等差数列性质

  一、任意两项am,an的关系为:

  an=am+(n-m)d

  它可以看作等差数列广义的通项公式。

  二、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:

  a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈N*

  三、若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有

  am+an=ap+aq

  四、对任意的k∈N*,有

  Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…成等差数列。


· 高中数学数列基础知识:等比数列

  等比数列定义

  一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列(geometric sequence)。这个常数叫做等比数列的公比(common ratio),公比通常用字母q表示。

  等比数列缩写

  等比数列可以缩写为G.P.(Geometric Progression)。

  等比中项

  如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。

  等比数列通项公式

  an=a1*q^(n-1) (其中首项是a1 ,公比是q)

  an=Sn-S(n-1) (n≥2)

  等比数列前n项和

  当q≠1时,等比数列的前n项和的公式为

  Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1*q^n)/(1-q) (q≠1)

  当q=1时,等比数列的前n项和的公式为

  Sn=na1

  前n项和与通项的关系

  an=a1=s1(n=1)

  an=sn-s(n-1)(n≥2)

  等比数列性质

  (1)若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq;

  (2)在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列。

  (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出: a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}

  (4)等比中项:q、r、p成等差数列,则aq·ap=ar²,ar则为ap,aq等比中项。

  记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1

  另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底对数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

  (5) 等比数列前n项之和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

  (6)任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)

  (7)在等比数列中,首项a1与公比q都不为零。

  注意:上述公式中a^n表示a的n次方。


· 高中数学数列基础知识:等和数列

  等和数列定义

  “等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。

  对一个数列,如果其任意的连续k(k≥2)项的和都相等,我们就把此数列叫做等和数列

  等和数列性质

  必定是循环数列

  证明:对任意正整数n,有an + an+1 + … + an+k-1 = an+1 + an+2 + … + an+k, 所以对任意正整数n,an = an+k,如果这个数列有n+k项的话。

  高一数学必修五数列知识点

  1.数列的函数理解:

  ①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1,2,3,…,n}的函数,其中的{1,2,3,…,n}不能省略。②用函数的观点认识数列是重要的思想方法,一般情况下函数有三种表示方法,数列也不例外,通常也有三种表示方法:a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。③函数不一定有解析式,同样数列也并非都有通项公式。

  2.通项公式:数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式(注:通项公式不唯一)。

  数列通项公式的特点:

  (1)有些数列的通项公式可以有不同形式,即不唯一。

  (2)有些数列没有通项公式(如:素数由小到大排成一列2,3,5,7,11,...)。

  3.递推公式:如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

  数列递推公式特点:

  (1)有些数列的递推公式可以有不同形式,即不唯一。

  (2)有些数列没有递推公式。

  有递推公式不一定有通项公式。

  注:数列中的项必须是数,它可以是实数,也可以是复数。



· 高中数学数列典型例题


题目

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答案

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题目

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答案

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