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高中数学复数

来源:101教育网整理 2018-08-07 字体大小: 分享到:
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· 高中数学复数知识点


  我们把形如a+bi(a,b均为实数)的数称为复数,其中a称为实部,b称为虚部,i称为虚数单位。当虚部等于零时,这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时,实部等于零时,常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包,也即任何复系数多项式在复数域中总有根。

  复数的定义

  数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行(比如对负数开偶数次方),为了使方程有解,我们将数集再次扩充。

  在实数域上定义二元有序对z=(a,b),并规定有序对之间有运算"+"、"×" (记z1=(a,b),z2=(c,d)):

  z1 + z2=(a+c,b+d)

  z1 × z2=(ac-bd,bc+ad)

  容易验证,这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域,并且对任何复数z,我们有

  z=(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)

  令f是从实数域到复数域的映射,f(a)=(a,0),则这个映射保持了实数域上的加法和乘法,因此实数域可以嵌入复数域中,可以视为复数域的子域。

  记(0,1)=i,则根据我们定义的运算,(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi,i × i=(0,1) × (0,1)=(-1,0)=-1,这就只通过实数解决了虚数单位i的存在问题。

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  复数的运算法则

  加法法则

  复数的加法法则:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和,它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。

  即

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  乘法法则

  复数的乘法法则:把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,结果中i2= -1,把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

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  叫复数a+bi除以复数c+di的商。运算方法:将分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再用乘法法则运算,即

  

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  开方法则

  若zn=r(cosθ+isinθ),则

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  (k=0,1,2,3…n-1)

  运算律

  加法交换律:z1+z2=z2+z1

  乘法交换律:z1×z2=z2×z1

  加法结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

  乘法结合律:(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)

  分配律:z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3

  i的乘方法则i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1(其中n∈Z)

  棣莫佛定理对于复数z=r(cosθ+isinθ),有z的n次幂

  zn=rn[cos(nθ)+isin(nθ)] (其中n是正整数)  

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· 高中数学复数典型例题


题目

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答案

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题目

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答案

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