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高中数学曲线与方程

来源:101教育网整理 2018-08-07 字体大小: 分享到:
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· 高中数学曲线与方程知识点


  在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:

  (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;

  (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

  那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。

  求曲线的方程

  1 直接法

  步骤

  (1)建系:建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;

  (2)设点:写出适合条件的p(M)的集合P={M|p(M)};

  (3)表示:用坐标表示条件p(M),列出方程F(x,y)=0;

  (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式;

  (5)下结论:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

  化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可以适当说明。另外,也可以根据情况省略(2),直接列出曲线方程。

  2 定义法

  (1)如果能够确定动点的轨迹满足某一直曲线的定义,则可根据曲线的定义直接写出方程。

  (2)如果动点的轨迹与圆锥曲线有关,则可运用圆锥曲线定义求出动点的轨迹方程。

  3 相关点代入法

  如果所求轨迹中的动点,随着另一动点的运动而运动,而另一动点有在某条已知曲线上,常设法利用轨迹中的动点坐标(x,y),表示已知曲线上动点的坐标(x1,y1),再将它代入已知曲线的方程即可。

  4参数法

  如果很难找出动点坐标满足的关系,可借助中间变量——参数,建立起动点坐标x,y之间的联系,然后消去参数得到曲线方程。

  步骤一般为

  引入参数——建立参数方程——消去参数,得到等价的普通方程。

  5交轨法

  如果所求轨迹上的动点,是两条动曲线的交点,可用两曲线的方程联立解得。

  什么是曲线

  按照经典的定义,从(a,b)到R3中的连续映射就是一条曲线,这相当于是说:

  (1.)R3中的曲线是一个一维空间的连续像,因此是一维的 .

  (2.)R3中的曲线可以通过直线做各种扭曲得到 .

  (3.)说参数的某个值,就是说曲线上的一个点,但是反过来不一定,因为我们可以考虑自交的曲线。

  微分几何就是利用微积分来研究几何的学科,为了能够应用微积分的知识,我们不能考虑一切曲线,甚至不能考虑连续曲线,因为连续不一定可微。这就要我们考虑可微曲线。但是可微曲线也是不太好的,因为可能存在某些曲线,在某点切线的方向不是确定的,这就使得我们无法从切线开始入手,这就需要我们来研究导数处处不为零的这一类曲线,我们称它们为正则曲线。

  正则曲线才是经典曲线论的主要研究对象。

  曲线:任何一根连续的线条都称为曲线,包括直线、折线、线段、圆弧等。

  曲线是1-2维的图形。

  处处转折的曲线一般具有无穷大的长度和零的面积,这时,曲线本身就是一个大于1小于2维的空间。

  1定义:含有未知数的等式叫方程。

  等式的基本性质1:等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式,所得的结果仍是等式。

  用字母表示为:若a=b,c为一个数或一个代数式。则:

  (1)a+c=b+c

  (2)a-c=b-c

  等式的基本性质2:等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。

  (3)若a=b,则b=a(等式的对称性)。

  (4)若a=b,b=c则a=c(等式的传递性)。

  方程的一些概念

  方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

  解方程:求方程的解的过程叫做解方程。

  解方程的依据:1.移项; 2.等式的基本性质; 3.合并同类项; 4. 加减乘除各部分间的关系。

  解方程的步骤:1.能计算的先计算; 2.转化——计算——结果

  例如: 3x=5*6

  3x=30

  x=30/3

  x=10

  移项:把方程中的某些项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项,根据是等式的基本性质1。

  方程有整式方程和分式方程。

  整式方程:方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。

  分式方程:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。



· 高中数学曲线与方程典型例题


题目

曲线f(x,y)=0关于直线x-y-3=0对称的曲线方程为(    ).

A. f(x-3,y)=0       

B. f(y+3,x)=0   

C. f(y-3,x+3)=0     

D. f(y+3,x-3)=0

答案

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题目

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答案

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