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高中数学随机事件

来源:101教育网整理 2018-08-07 字体大小: 分享到:
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· 高中数学随机事件知识点


  随机事件是在随机试验中,可能出现也可能不出现,而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件(简称事件)。随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示。随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个样本点,记作ωi。全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间,记作Ω.即Ω={ω1,ω2,…,ωn,…}。仅含一个样本点的随机事件称为基本事件,含有多个样本点的随机事件称为复合事件。

  随机事件的定义

  在抛掷一枚均匀硬币的试验中,“正面向上”是一个随机事件,可用A={正面向上}表示。

  随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个样本点,记作ωi。全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间,记作Ω.即Ω={ω1,ω2,…,ωn,…}。仅含一个样本点的随机事件称为基本事件,含有多个样本点的随机事件称为复合事件。

  在随机试验中,随机事件一般是由若干个基本事件组成的。样本空间Ω的任一子集A称为随机事件。属于事件A的样本点出现,则称事件A发生。

  例如,在试验E中,令A表示“出现奇数点”,A就是一个随机事件,A还可以用样本点的集合形式表示,即A={1,3,5},它是样本空间Ω的一个子集,在试验W中,令B表示“灯泡的寿命大于1000小时”,B也是一个随机事件,B也可用样本点的集合形式表示,即B={t|t>1000},B也是样本空间的一个子集。

  因此在理论上,我们称试验E所对应的样本空间Ω的子集为E的一个随机事件,简称事件。在一次试验中,当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生。

  样本空间Ω的仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}也是一种随机事件,这种事件称为基本事件。例如,在试验A中{H}表示“正面朝上”,这是基本事;在试验B中{3}表示“掷得3点”,这也是基本事件;在试验C中{5}表示“测量的误差是0.5”,这还是一个基本事件。样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次的试验中它总是发生,称为必然事件,必然事件仍记为Ω,空集∮不包含任何样本点,它也作为样本空间Ω的子集。在每次试验中都不发生,称为不可能事件,必然事件和不可能事件在不同的试验中有不同的表达方式。

  综上所述,随机事件可能有不同的表达方式:一种是直接用语言描述,同一事件可能有不同的描述;也可以用样本空间子集的形式表示,此时,需要理解它所表达的实际含义,有利于对事件的理解。

  随机事件的特点

  1.可以在相同的条件下重复进行;

  2.每个试验的可能结果不止一个,并且能事先预测试验的所有可能结果;

  3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

  随机事件的特殊事件

  必然事件记作Ω,样本空间Ω也是其自身的一个子集,Ω也是一个“随机”事件,每次试验中必定有Ω中的一个样本点出现,必然发生。

  不可能事件记作Φ,空集Φ也是样本空间的一个子集,Φ也是一个特殊的“随机”事件,不包含任何样本点,不可能发生。

  随机事件的事件关系

  事件A是事件B的子事件,事件A发生必然导致事件B发生,事件A的样本点都是事件B的样本点,记作A⊂B。

  若A⊂B且B⊂A,那么A=B,称A和B为相等事件,事件A与事件B含有相同的样本点。

  和事件发生,即事件A发生或事件B发生,事件A与事件B至少一个发生,由事件A与事件B所有样本点组成,记作A∪B。

  积事件发生,即事件A和事件B同时发生,由事件A与事件B的公共样本点组成,记作AB或A∩B。

  随机事件的种类

  互斥事件(互不相容事件)事件A与事件B,AB=Φ,事件A与事件B不能同时发生,事件A与事件B没有公共的样本点。

  事件A的对立事件,事件A不发生,事件A的对立事件是由不属于事件A的样本点组成,记作ā。

  差事件发生,即事件A发生且事件B不发生,是由属于事件A但不属于事件B的样本点组成,记作A-B。

  随机事件的运算

  (1)交换律:A∪B=B∪A、AB=BA

  (2)结合律:( A∪B )∪C=A∪( B∪C )

  (3)分配律:A∪( BC )=( A∪B )( A∪C )

  A( B∪C )=( AB )∪( AC )

  (4)摩根律:A B=A∪B、A ∪ B=A B

  在随机事件中,有许多事件,而这些事件之中又有联系,分析事件之间的关系,可以帮助我们更加深刻地认识随机事件;给出的事件的运算及运算规律,有助于我们讨论复杂事件。

  既然事件可用集合来表示,那么事件的关系和运算自然应当按照集合论中集合之间的关系和集合的运算来处理。下面给出这些关系 和运算在概率论中的提法,并根据“事件发生”的含义,给它们的概率意义。

  随机事件包含

  设A,B为两个事件,若A发生必然导致B发生,则称事件B包含事件A,或称事件A包含在事件B中,记作A⊂B。

  显然有:∮⊂A⊂Ω。

  随机事件的和事件(并事件)

  称事件“A、B中至少有一个发生”为事件A和事件B的和事件,也称A与B的并,记作A∪B或A+B,A∪B发生意味着:或事件A发生,或事件B发生,或都发生。

  显然有:

  ①A⊂A∪B,B⊂A∪B;

  ②若A⊂B,A∪B=B

  随机事件的积事件(交事件)

  称事件“A、B同时发生”为事件A与事件B的积事件,也称A与B的交,记作A∩B,简记为AB。事件AB发生意味着事件A发生且事件B也发生,也就是说A,B都发生。

  显然有:

  ①AB⊂A,AB⊂B

  ②若A⊂B,则AB=A

  随机事件的差事件

  称事件“A发生而B不发生”为事件A与事件B的差事件,记作A—B,

  显然有:

  ①A—B⊂A

  ②若A⊂B,则A—B=∮

  注意在定义事件差的运算时,并未要求一定有B⊂A,也就是说,没有包含关系B⊂A,照样可作差运算A—B。

  image.png

  随机事件的举例

  某箱中有3个红球和2个黑球,从中随机摸出2个球,判断下列给出的每对事件,是否为互斥事件,是否为对立事件?

  (1)恰有1个红球与全是红球;

  (2)至少有1个红球与2个全是红球;

  (3)至少有1个红球与全是黑球;

  (4)至少有1个红球与至少有1个黑球。

  分析 判断2个事件是否互斥,就要考查它们是否能同时发生,判断2个事件是否对立,就要在2个事件互斥的前提下,考查它们是否必有1个发生。

  (1)互斥不对立。

  (2)不互斥。

  (3)互斥且对立;

  (4)不互斥 。

  随机事件的与频率的关系

  1.频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率稳定于概率。

  2.频率本身是随机的,在试验前不能确定。

  3.概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关 。



· 高中数学随机事件典型例题


题目

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答案

C

解析:

试题分析:给出的四个命题是考查随机事件的概念.在条件S下,一定会发生的事件,叫做相对于条件S的必然事件;一定不会发生的事件叫做不可能事件;可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件.结合概念可知②④是真命题,①③是假命题解:当三个球全部放入两个盒子时,若一个盒子是1个球,则另一个盒子必有2个球,或三个球可能放入一个盒子即它不是必然事件.则①是假命题。当x为实数时总有x2≥0,即不可能当x为某一实数时可使x2<0成立,所以它是不可能事件.则②是真命题。因为明天顺德下雨是不可预测的,所以是随机事件.则③是假命题。从100个灯泡中取出5个,5个灯泡有可能全部是正品,也可能是有部分是正品,也有可能都是次品,所以是随机事件.则④是真命题, 故②④是真命题,①③是假命题. 故选C.

考点:随机事件

点评:这是一道基础题,它主要考查随机事件的概念.属于基础题.


题目

①同学甲竞选班长成功;

②两队球赛,强队胜利了;

③一所学校共有998名学生,至少有三名学生的生日相同;

④若集合A、B、C,满足A=B,B=C,则A=C;

⑤古代有一个国王想处死一位画师,背地里在2张签上都写上“死”字,再让画师抽“生死签”,画师抽到死签;

⑥7月天下雪;

⑦从1,3,9中任选两数相加,其和为偶数;

⑧骑车通过10个十字路口,均遇红灯.

其中属于随机事件的有

A. 4个                      

B. 4个                

C. 5个                

D. 6个

答案

C

解析:

试题分析:⑤是必然事件;任意两奇数的和都是偶数,所以⑦是必然事件;①②③⑥⑧为随机事件,故选C。

考点:随机事件

点评:一定发生的是必然事件,一定不会发生的是不可能事件,有可能发生的是随机事件。


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