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高中数学不等式知识点

来源:101教育网整理 2018-08-07 字体大小: 分享到:
高三个性化提分


· 高中数学基本不等式及其公式

  包括基本不等式、利用基本不等式求最值等知识点。其中利用基本不等式求最值是重点和难点。

  1、基本不等式

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  (2)常用来求最小值,其变形公式常用来求最大值;求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,三者缺一不可。

  2、使用基本不等式求最值时,要注意观察收集题目中的数学信息(正数、定值等),然后变形,配凑出基本不等式的条件。

  3、使用基本不等式求最值,如果等号成立的条件不成立,就说明不能取到该最值,必须寻找另外的方法(如:函数的单调性和数形结合等)求最值。

  不等式的证明

  主要包括利用比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法和数学归纳法证明不等式等知识点。其中主要是掌握比较法、分析法、综合法、数学归纳法这四种基本方法证明不等式。基础比较好的可以研究一下利用放缩法证明不等式。

  不等式的证明常用的有六种方法

  1、比较法:包括比差和比商两种方法。

  2、综合法

  证明不等式时,从命题的已知条件出发,利用公理、定理、法则等,逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法,它是由因导果的方法。

  3、分析法

  证明不等式时,从待证命题出发,分析使其成立的充分条件,利用已知的一些基本原理,逐步探索,最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件,这种证明的方法称为分析法,它是执果索因的方法。

  4、放缩法

  证明不等式时,有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小,使其化繁为简,化难为易,达到证明的目的,这种方法称为放缩法。

  5、数学归纳法

  用数学归纳法证明不等式,要注意两步一结论。

  在证明第二步时,一般多用到比较法、放缩法和分析法。

  6、反证法

  证明不等式时,首先假设要证明的命题的反面成立,把它作为条件和其他条件结合在一起,利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论,以此说明原假设的结论不成立,从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。



  不等式的基本性质

  1.不等式的定义:a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a

  ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据。

  ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景,来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

  作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。

  如证明y=x3为单增函数,

  设x1, x2∈(-∞,+∞), x1+x22]

  再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)

  2.不等式的性质:

  ①如果 ,那么 ;如果 ,那么 ;(对称性)

  ②如果x>y,y>z;那么x>z;(传递性)

  ③如果x>y,而z为任意实数或整式,那么x+z>y+z;(加法原则,或叫同向不等式可加性)

  ④ 如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz

  ⑤如果x>y,m>n,那么x+m>y+n;(充分不必要条件)

  ⑥如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn;[3]

  ⑦如果x>y>0,那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数),x的n次幂

  注:①不等式性质1:不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变;

  ②不等式性质2:不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;

  ③不等式性质3:不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向变。

  不等式解集:

  ①比两个值都大,就比大的还大(同大取大);

  ②比两个值都小,就比小的还小(同小取小);

  ③比大的大,比小的小,无解(大大小小取不了);

  ④比小的大,比大的小,有解在中间(小大大小取中间)。



· 高中数学不等式典型例题


题目

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答案

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题目

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答案

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