高中数学知识点

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高中数学导数知识点

来源:101教育网整理 2018-08-07 字体大小: 分享到:
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· 高二数学导数知识点


  导数作为研究函数的重要工具,也是进一步学习高二数学的基础,因此同学们需要掌握导数的重要知识点。下面101教育小编带来高二数学导数知识点,欢迎阅读!

  导数的定义:如果 函数f(x)在(a,b)中每一点处都 可导,则称f(x)在(a,b)上可导,则可建立f(x)的 导函数,简称导数。

  高二数学导数的性质及运算法则

  1. 求函数的单调性:

  利用导数求函数单调性的基本方法:设函数yf(x)在区间(a,b)内可导, (1)如果恒f(x)0,则函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数; (2)如果恒f(x)0,则函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数; (3)如果恒f(x)0,则函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数。

  利用导数求函数单调性的基本步骤:①求函数yf(x)的定义域;②求导数f(x); ③解不等式f(x)0,解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式f(x)0,解集在定义域内的不间断区间为减区间。

  反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围): 设函数yf(x)在区间(a,b)内可导,

  (1)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间);

  (2) 如果函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间);

  (3) 如果函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数,则f(x)0恒成立。

  2. 求函数的极值:

  设函数yf(x)在x0及其附近有定义,如果对x0附近的所有的点都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)),则称f(x0)是函数f(x)的极小值(或极大值)。

  可导函数的极值,可通过研究函数的单调性求得,基本步骤是:

  (1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f(x);(3)求方程f(x)0的全部实根,x1x2xn,顺次将定义域分成若干个小区间,并列表:x变化时,f(x)和f(x)值的变化情况:

  (4)检查f(x)的符号并由表格判断极值。

  3. 求函数的最大值与最小值:

  如果函数f(x)在定义域I内存在x0,使得对任意的xI,总有f(x)f(x0),则称f(x0)为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一,但在定义域内的最值是唯一的。

  求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值的步骤: (1)求f(x)在区间(a,b)上的极值;

  (2)将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较,得到f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值。

  4. 解决不等式的有关问题:

  (1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。

  f(x)(xA)的值域是[a,b]时,

  不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)max0,即b0;

  不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)min0,即a0。

  f(x)(xA)的值域是(a,b)时,

  不等式f(x)0恒成立的充要条件是b0; 不等式f(x)0恒成立的充要条件是a0。

  (2)证明不等式f(x)0可转化为证明f(x)max0,或利用函数f(x)的单调性,转化为证明f(x)f(x0)0。

  5. 导数在实际生活中的应用:

  实际生活求解最大(小)值问题,通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时,一定要注意,极值点唯一的单峰函数,极值点就是最值点,在解题时要加以说明。


  高二数学导数考点

  考点一:求导公式。

  例1. f(x)是f(x)13x2x1的导函数,则f(1)的值是 3

  考点二:导数的几何意义。

  例2. 已知函数yf(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y

  1x2,则f(1)f(1) 2

  ,3)处的切线方程是 例3.曲线yx32x24x2在点(1

  点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。

  考点三:导数的几何意义的应用。

  例4.已知曲线C:yx33x22x,直线l:ykx,且直线l与曲线C相切于点x0,y0x00,求直线l的方程及切点坐标。

  点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。

  考点四:函数的单调性。

  例5.已知fxax3xx1在R上是减函数,求a的取值范围。 32

  点评:本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题,要有求导意识。

  考点五:函数的极值。

  例6. 设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值。

  (1)求a、b的值;

  (2)若对于任意的x[0,3],都有f(x)c2成立,求c的取值范围。

  点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数fx的极值步骤:

  ①求导数f'x;

  ②求f'x0的根;③将f'x0的根在数轴上标出,得出单调区间,由f'x在各区间上取值的正负可确定并求出函数fx的极值。

  考点六:函数的最值。

  例7. 已知a为实数,fxx24xa。求导数f'x;(2)若f'10,求fx在区间2,2上的最大值和最小值。

  点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数fx在区间a,b上的最值,要先求出函数fx在区间a,b上的极值,然后与fa和fb进行比较,从而得出函数的最大最小值。

  考点七:导数的综合性问题。

  例8. 设函数f(x)ax3bxc(a0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x6y70垂直,导函数

  (1)求a,b,c的值; f'(x)的最小值为12。

  (2)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在[1,3]上的最大值和最小值。

  点评:本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识,以及推理能力和运算能力。


· 高二数学导数典型例题


题目

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答案

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题目

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答案

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