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二次函数与平行四边形

来源:101教育网整理 2019-10-14 字体大小: 分享到:

· 初中数学二次函数与平行四边形知识点

  

二次函数的定义

  • 定义:
    一般地,如果(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x 的二次函数。
    ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
    ②二次函数(a≠0)中x、y是变量,a,b,c是常数,自变量x 的取值范围是全体实数,b和c可以是任意实数,a是不等于0的实数,因为a=0时,变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数。
    ③二次函数(a≠0)与一元二次方程(a≠0)有密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么这个二次函数就是一个一元二次函数。

  • 二次函数的解析式有三种形式:
    (1)一般式:(a,b,c是常数,a≠0);
    (2)顶点式: (a,h,k是常数,a≠0)
    (3)当抛物线与x轴有交点时,即对应二次好方程有实根x1和x2存在时,根据二次三项式的分解因式,二次函数可转化为两根式。如果没有交点,则不能这样表示。

    二次函数的一般形式的结构特征:
    ①函数的关系式是整式;
    ②自变量的最高次数是2;
    ③二次项系数不等于零。

  • 二次函数的判定:
    二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式;
    当b=0,c=0时,y=ax2是特殊的二次函数;
    判断一个函数是不是二次函数,在关系式是整式的前提下,如果把关系式化简整理(去括号、合并同类项)后,能写成(a≠0)的形式,那么这个函数就是二次函数,否则就不是。


  • 平行四边形的概念:
    两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
    平行四边形用符号“□ABCD,如平行四边形ABCD记作“□ABCD”,读作ABCD”。
    ①平行四边形属于平面图形。
    ②平行四边形属于四边形。
    ③平行四边形中还包括特殊的平行四边形:矩形,正方形和菱形等。
    ④平行四边形属于中心对称图形。

  • 平行四边形的性质:
    主要性质
    (矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)
    (1)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对边分别相等。
    (简述为“平行四边形的两组对边分别相等”)
    (2)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对角分别相等。
    (简述为“平行四边形的两组对角分别相等”)
    (3)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的邻角互补
    (简述为“平行四边形的邻角互补”)
    (4)夹在两条平行线间的平行线段相等。
    (5)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两条对角线互相平分。
    (简述为“平行四边形的对角线互相平分”)
    (6)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)
    (7)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)
    (8)过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形。
    (9)平行四边形是中心对称图形,对称中心是两对角线的交点.
    (10)平行四边形不是轴对称图形,矩形和菱形是轴对称图形。
    注:正方形,矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形,三者具有平行四边形的性质。

    (11)平行四边形ABCD中(如图)E为AB的中点,则AC和DE互相三等分,一般地,若E为AB上靠近A的n等分点,则AC和DE互相(n+1)等分。
    (12)平行四边形ABCD中,AC、BD是平行四边形ABCD的对角线,则各四边的平方和等于对角线的平方和。
    (13)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。
    (14)平行四边形中,两条在不同对边上的高所组成的夹角,较小的角等于平行四边形中较小的角,较大的角等于平行四边形中较大的角。
    (15)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高,与这个角的两边组成的夹角相等。

· 初中数学二次函数平行四边形典型例题

题目

如图,点A(m,m+1),B(m+3,m-1)都在反比例函数的图象上.

(1)求m,k的值;
(2)如果M为x轴上一点,N为y轴上一点, 以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形, 试求直线MN的函数表达式;
(3)在平面直角坐标系中,点P的坐标为(5,0),点Q的坐标为(0,3),把线段PQ向右平移4个单位,然后再向上平移2个单位,得到线段P1Q1,则点P1的坐标为______,点Q1的坐标为______.

答案

  

解:(1)由题意可知,m(m+1)=(m+3)(m-1),
解得m=3,
∴A(3,4),B(6,2),
∴k=4×3=12。

(2)存在两种情况,
如图: ①当M点在x轴的正半轴上,N点在y轴的正半轴上时,
设M1点坐标为(x1,0),N1点坐标为(0,y1),
∵ 四边形AN1M1B为平行四边形,
∴ 线段N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位,
再向下平移2个单位得到的(也可看作向下平移2个单位,
再向左平移3个单位得到的),
由(1)知A点坐标为(3,4),B点坐标为(6,2),
∴N1点坐标为(0,4-2),即N1(0,2),
M1点坐标为(6-3,0),即M1(3,0),
设直线M1N1的函数表达式为,
把x=3,y=0代入,解得,
∴直线M1N1的函数表达式为;
②当M点在x轴的负半轴上,N点在y轴的负半轴上时,
设M2点坐标为(x2,0),N2点坐标为(0,y2),
∵AB∥N1M1,AB∥M2N2,AB=N1M1,AB=M2N2
∴N1M1∥M2N2,N1M1=M2N2
∴线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称,
∴M2点的坐标为(-3,0),N2点的坐标为(0,-2),
设直线M2N2的函数表达式为,
把x=-3,y=0代入,解得,
∴直线M2N2的函数表达式为;
所以,直线MN的函数表达式为或。  

(3)(9,2);(4,5)。

  

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