导数刚学的时候，很多学生的困惑是：公式会背，题不会做。求导本身不难，难的是求完导之后要干什么。

导数的题型其实很集中。入门阶段把三个套路练熟，大部分题都能动笔：求导判单调、求极值、求参数范围。三个套路共用同一套流程，区别只在最后一步问什么。

第一步永远是求定义域

这一步被跳过得太频繁了。导数的所有结论都建立在定义域上：单调区间要在定义域内讨论，极值点必须在定义域内，最值要在闭区间上求。

含有对数、根式、分式的函数，定义域往往不是全体实数。比如含 ln x 的函数，定义域是 x 大于零；含根号的，被开方数要非负。定义域写错，后面的所有结论都会错。

养成习惯：拿到函数先写一行“定义域为”，再开始求导。

套路一：求导后判号

求导之后得到一个导函数，令它等于零求出可能的极值点，然后用这些点把定义域切成几段，判断每一段导函数的正负。

正的区间原函数递增，负的区间原函数递减。这是最基础的一套动作。

判断导函数符号的技巧是先因式分解。导函数通常是多项式或有理式，分解成几个因式相乘之后，每个因式的符号容易判断，乘积的符号也就出来了。分解不了的时候，可以用二次函数的判别式或者换元。

套路二：极值和最值

极值是局部的，最值是整体的，这两个概念经常被混。

求极值的步骤是：求导，令导数为零，判断零点两侧的导数符号。左正右负是极大值，左负右正是极小值，两侧同号则不是极值点。

求最值要看区间。闭区间上的最值，只需比较极值和端点值；开区间上的最值，要结合单调性判断。这一点在应用题里特别重要，因为实际问题的最优解往往在端点。

套路三：含参讨论

导数大题的第二问通常是含参数的：讨论单调性，或者求参数范围使某个条件成立。

含参讨论的难点是分类标准的确定。常用的分类依据有三个：导数为零的根是否存在，根是否在定义域内，两个根的大小关系。

以 f(x) 等于 x³ 减 3ax 为例，导数是 3x² 减 3a。当 a 小于等于零时，导数恒非负，函数单调递增；当 a 大于零时，导数有两个零点，正负号在两根之间变化。分类标准就是 a 与零的关系。

写答案时要注意：分类要完整，不能漏掉边界情况；每一类都要写出结论；最后要有一个总结。

常见错误清单

一是求导公式记错，尤其是商的导数、复合函数的链式法则。链式法则是高频错误点，内层函数的导数经常漏乘。

二是把导数为零的点直接当成极值点。导数为零只是必要条件，还要看两侧符号是否变化。

三是忽略定义域边界。有的函数在定义域端点取到最值，但学生只在内部找。

四是讨论完不总结。分类讨论的题，最后不写“综上”，阅卷时容易判为未完成。

入门阶段的练习方式

不要一上来做综合大题。先用一周时间专门练“求导加判号”这个动作，做三十道只问单调区间的题，每道都完整写出定义域、导数、零点、符号表。

符号表是关键工具。画一张表，第一行是区间，第二行是导函数符号，第三行是原函数增减。表画出来，单调性一目了然，也不容易漏区间。

这个动作练熟之后，极值、最值、含参讨论都是在这张表上加内容，难度会低很多。